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In den letzten 20 Jahren wurde die Forschung über Netzwerke stark intensiviert. Sowohl die mathematischen Untersuchungen.  als auch die Anwendungen in Natur, Technik, Wirtschaft und sozialen Systemen wurden intensiviert.

In der einfachsten Form ist ein Netzwerk eine beliebige Anordnung von Punkten, die teilweise oder alle miteinander verbunden sind.

Dabei stellen die Punkte und ihre Verbindungen keine geometrische Anordnung dar, sondern sind abstrakt;  im mathematischen Sinne,  eine Punktmenge und die Relationen in ihr.

Das Netzwerk wird zwar graphisch auf einer Ebene dargestellt, aber es hat in seiner allgemeinsten Form keine  geometrische Bedeutung. Es gibt also keine Längen oder Winkel.

Natürlich kann ein Netzwerk mit zusätzlichen Eigenschaften ausgestattet werden, so dass die Punkte in einer Fläche oder im Raum angeordnet sind und ihre Verbindungen Strecken darstellen, die eine Länge und einen Winkel haben. Wird noch der Durchlaufungssinn definiert, werden die Strecken zu Vektoren.

Aber bereits in seiner einfachsten und allgemeinsten Form, kann man aus der Untersuchung von Netzwerken einige interessante Erkenntnisse gewinnen, die auch für praktische Anwendungen wichtig sind.

Für diese Untersuchung sind einige wenige Begriffe aus der mathematischen Mengenlehre und Kombinatorik nötig.

1. Definition: Menge:  Eine Menge ist eine Zusammenfassung von verschiedenen Objekten, die Elemente der Menge genannt werden

Beispiel 1:    M = { 1,2,3 } ist eine Menge der natürlichen Zahlen 1, 2, 3

N = { 1,2,3,2} ist keine Menge, da  2 zweimal auftritt.

2. Definition:  leere Menge:  Eine Menge, die keine Element enthält, ist eine leere Menge   { }.

Was für manch einen Leser schwer zu akzeptieren sein mag ist, dass eine Menge, die die leere Menge als Element enthält,  selbst keine leere Menge ist.

Also  { {} }  ist keine leere Menge.

Damit läßt sich logisch eine Hierarchie von Mengen konstruieren.

3. Definition:  Untermenge:  Eine Untermenge enthält keins, eins, mehrere oder alle Elemente einer Menge.

Aus dieser Definition folgt automatisch, dass die leere Menge Untermenge einer jeden Menge ist und dass die Menge selbst auch eine Untermenge ist.

Beispiel:  Wieviel Untermengen hat die Menge  M = { 1 , 2 , 3 }  ?

• die leere Menge und   M selbst
  • und außerdem noch :   {1},  {2},  {3}, {1,2}, {1,3}, {2,3}
• insgesamt also 8 Untermengen

Das legt den Verdacht nahe,  dass eine Menge mit  n Elementen  2^n   Untermengen hat.

• Also hat eine Menge mit 4 Elementen = 2^4 = 16  Untermengen.

Jetzt machen wir den Übergang von der Mengenlehre zur Untersuchung von Netzwerken:

4. Definition:  Eine Verbindung zwischen Punkten wird durch ein Punktepaar definiert, wie zum Beispiel (2,3).  Dieses Punktpaar kann auch als Untermenge {2,3} interpretiert werden.

Anmerkungen:

• (1,1) zum Beispiel kann als eine Schleife interpretiert werden; zum Beispiel könnte die Barbeitungsdauer eines Werkstücks auf einer Produktionsmaschine durch eine Zeitschleife dargestellt werden.
• Aber (1,1) läßt sich nicht als Untermenge {1,1} darstellen, da Mengen nur verschiedene Elemente enthalten dürfen.

5. Definition:  Eine Verknüpfungstruktur zwischen Punkten wird durch eine oder mehrere Verbindungen zwischen ihren  Punkten gebildet.

6.  Definition: Ein Netzwerk  ist eine Punktmenge und die Verknüpfungstrukturen in ihr.

Beispiel:  (1,2)  ist eine Verbindung zwischen den Punkten 1 und 2.  Wenn der Durchlaufungsssinn keine Rolle spielt, gilt   (1,2) = (2,1)

Sehen wir uns die Untermengen von M an, erkennen wir:

• Es gibt 3 Verbindungen zwischen 3 Punkten.

Anmerkung:

• Nicht alle Untermengen einer Menge repräsentieren Verbindungen:  Die leere Menge repräsentiert keine Verbindung.
• Ein Spezialfall tritt auf, wenn in einer Verbindung beide Punkte gleich sind, wie zum Beispiel (2,2).  Wir müssen in jedem Anwendungsfall entscheiden, ob wir diese rückbezüglichen Verbindungen in das Netzwerk einschließen wollen oder nicht.

Jetzt kommt die wichtige Frage, wie viele verschiedene Verbindungsstrukturen es maximal in einer Punktmenge  geben kann.

Diese Frage läßt sich mit der Kombinatorik berechnen.

Beispiel: 

Wir berechnen, wie viele Verbindungen es in einer Menge mit 4 Punkten gibt. Dazu müssen wir berechnen, auf wie viele Weisen wir  aus 4 verschiedenen Punkten jeweils 2, 3 und 4 Punkte herausgreifen können, denn wir können jeweils 2, 3 oder 4 Punkte miteinander verbinden.

Geometrisch bedeutet das, wie viele verschiedene geometrische Teilmuster wir bilden können, wenn wir jeweils 2, 3 oder 4 Punkte miteinander verbinden.

Es sind genau 11 Muster.

Können Sie sie alle finden ?