Abschätzungen von Wahrscheinlichkeiten Teil 1: Kombinationen und Wahrscheinlichkeiten

Viele Menschen verschätzen sich stark,  wenn sie Aussagen machen, wie wahrscheinlich ein Ereignis eintreten kann.

Der  Pschychologe und Wirtschafts-Nobelpreisträger Daniel Kahneman hat  in vielen psychologischen Experimenten gezeigt, dass Menschen auf 2 verschiedene Weise denken:

  • Denkweise 1:   automatisch: schnell, emotional, unbewusst und in Stereotypen
  • Denkweise 2:  langsam: logisch und anstrengend, berechnend und bewusst; aber wird selten angewendet.

Und seine Experimente belegen, dass viele Menschen häufig die Denkweise 1 anwenden, wenn sie Wahrscheinlichkeiten für Ereignisse abschätzen sollen:

  • sie bevorzugen eine plausibel erscheinende schnelle Lösung
  • sie sind zu faul, länger nachzudenken und Berechnungen anzustellen

Da häufig nur Schlussfolgerungen aus Informationen gezogen werden können, die nicht absolut richtig oder falsch sind, sondern nur mit einer gewissen Wahrscheinlicheit, ist es notwendig, zumindest die Grundlagen der Wahrscheinlichkeit zu kennen und sie richtig anzuwenden.

Dafür sind als erstes einige Begriffe aus der Kombinatorik nötig:

Grundlegend ist das Abzählprinzip, das sich anschaulich mit folgendem Beispiel erklären läßt:

  • Es gibt  n Kästen  und k Kugeln.
    • Die Kästen und die Kugeln sind unterscheidbar.
  • in jeden Kasten darf höchstens eine Kugel gelegt werden.
  • es gibt weniger Kugeln als Kästen oder genau soviele Kugeln wie Kästen.

Wie viele Möglichkeiten gibt es dann, die k Kugeln auf die n Kästen zu verteilen ?

  • die erste Kugel kann in irgendeinen der n Kästen gelegt werden, also gibt es n Möglichkeiten.
  • die zweite Kugel kann aber nur noch in einen der   n-1  Kästen gelegt werden.
  • und für die  letzte ( die k. Kugel ) stehen nur noch  n – k  Kästen zur Verfügung

Also gibt es   n*(n-1)* … * (n-k) Möglichkeiten, die k Kugeln auf n Kästen zu verteilen.

  • Das gilt aber nur für jeweils eine festgelegte Anordnung von Kästen und von Kugeln.

Numerieren wir die Kästen von 1 bis n durch, so gibt es folgende verschiedene Anordnungen  (Permutationen ) der Kästen:

1 2 3 4 5. n

2 3 4 5… n 1

3 4 5     n 1 2

usw. bis zu  n 1 2 3 … n-1

und alle dazu spiegelbildlichen Anordnungen.

Beispiel für alle möglichen Anordnungen von 3 Zahlen:

1 2 3    3 2 1

2 3 1   1 3 2

3 1 2   2 1 3

Insgesamt sind das  1*2*3*4* … * n = n!  verschiedene Anordnungen ( n! wird als Abkürzung verwendet und heißt Fakultät der Zahl n )

Für die k Kugeln gelten dieselben Überlegungen: Es gibt k ! verschiedene Anordnungen der Kugeln.

Also gibt es insgesamt   V =  n! / ( n-k )!  Verteilungsmöglichkeiten.

Spielt es keine Rolle, wie die Kugeln in den n Kästen angeordnet sind, wird diese Formel durch k! dividiert.

Also:   n ! / (  k! ( n-k)! )

Angenommen, wir hätten 5 verschiedene Kästen und 3 verschiedene Kugeln:

Dann gibt es  5! / ( 5-3) ! = 3 *4 *5 = 60 verschiedene Anordnungen der  3 Kugeln.

Beispiel Lotterie:

In der Lotterie gibt es  48  bezifferte Kugeln, aus denen nacheinander 6 bezifferte Kugeln gezogen werden. Diese Aufgabe läßt sich so interpretieren, dass es n = 48 bezifferte Kästen gibt und nacheinander jeweils ein Kasten ausgewählt wird, bis insgesamt 6 Kästen augewählt sind.

Also gibt es insgesamt   48! / ( 48-6)! = 48!/42! = 43*44*45*46*47*48 verschiedene Ziehungsmöglichkeiten und das sind: 8 835 488 640 , also über 8 Milliarden Möglichkeiten.

Wenn alle Menschen auf der Welt jeweils einen verschiedenen Tippzettel abgeben würden, würde immer noch die Möglichkeit bestehen, dass keiner den Hauptgewinn macht.

Dass  es trotzdem Hauptgewinne gibt, hat 2 Gründe:

  • im Laufe von vielen Lottoziehungen muss auch einmal ein Hauptgewinn vorkommen.
  • die Teilnehmer am Lottospiel geben mehrere Tippzettel ab.

Es gibt einige Firmen, die behaupten, dass sie auf Grund der Untersuchungen von vergangenen Ziehungen eine Methode entwickelt hätten, mit der die Gewinnchancen erhöht werden können.

  • die Gewinnchancen können nicht erhöht werden, da jede Ziehung unabhängig ist
  • aber wenn ein Gewinn erfolgt, kann die Auszahlungsquote  höher sein, wenn man die Zahlen vermeidet, die die meisten Teilnehmer bevorzugen, wie zum Beispiel Geburtstage. In diesem Fall sollte man alle Zahlen von 1 bis 31 vermeiden.

Da dadurch aber die Gewinnchancen insgesamt stark verringert werden, ist das auch keine empfehlenswerte Spielstrategie.

Die  6 Richtigen können in jeder Lottoziehung nur einmal auftreten; es gibt also nur 1 solches Ereignis in über 8 Milliarden möglichen.

Das Verhältnis beider Zahlen  1 / 8 835 488 640 wird als Wahrscheinlichkeit bezeichnet und das ist eine sehr kleine Zahl.

Einige weitere Beispiele:

  • Die Wahrscheinlichkeit, dass bei einem Würfel mit 6 verschiedenen Zahlen eine Zahl gewürfelt wird ist  1 / 6  ( Die Grundgesamheit sind die 6 Zahlen; sie steht im Nenner.  Es gibt nur eine Kombination, dass eine Zahl oben auf dem Würfel erscheint, also steht die 1 im Zähler )
  • Die Wahrscheinlichkeit, dass bei einem Kartenspiel mit 52 Karten die erste gezogene Karte ein Kreuz-As ist, ist  1/ 52.     Denn  es gibt  insgesamt 52! / ( 1! ( 52- 1 )!) = 52  verschiedene Kartenanordnungen, bei denen das Herz As an 1. Stelle ist. Oder anders betrachtet:  Nehme ich das Herz-As aus dem Kartenstapel heraus, kann ich die restlichen 51 Karten auf 51! verschiedene Arten anordnen. Diese Anordnungen interessieren aber nicht und deshalb wird 52 ! durch 51! dividiert. Man kann das Problem aber auch als einen Würfel mit 52 Zahlen betrachten und dann wird dieses Ergebnis sofort intuitiv klar, da es analog zu dem Würfel mit 6 Zahlen ist.

Schlussfolgerungen:

Wenn zu einer Anzahl von Wahlmöglichkeiten eine neue hinzukommt, steigt damit die Zahl der Kombinationen stark an  und umgekehrt sinkt die Wahrscheinlichkeit stark, dass genau eine Wahlmöglichkeit realisiert wird.

  • Damit die Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis  richtig berechnet werden kann, muss man also immer überlegen, wie viele Wahlmöglichkeiten es gibt, denn sie bilden die Grundgesamtheit, die immer im Nenner steht, wenn man die Wahrscheinlichkeit berechnet.

Wir werden uns dazu einige Experimente von Daniel Kahneman genauer ansehen, die er in seinem Buch beschreibt:  Schnelles Denken, langsames Denken

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