Symbolische, grafische  und numerische Lösung von mathematischen Gleichungen

Es gibt viele  Gleichungen, die symbolisch lösbar sind, aber sehr viele, die nur numerisch lösbar sind.

Mit dem HP 9g   können Gleichungen nicht symbolisch gelöst werden.

Das geht mit einigen anderen Taschenrechnern. Aber auch die können nur relativ einfache Gleichungen symbolisch lösen.

Deshalb ist es sinnvoll zu lernen, wie Gleichungen numerisch gelöst werden können, da in Anwenungsproblemen viele Gleichungen ohnehin nur numerisch lösbar sind.

Folgende Vorgehensweise führt häufig zum Erfolg:

• die Gleichung, wie zum Beispiel   y =   2 x + 5    grafisch darstellen
  • schneidet  der Graph für   y die x Achse    ( dort gilt  y= 0 ), wird die x- Koordinate für den Schnittpunkt so genau wie nötig numerisch berechnet.
  • die Zeichnung können wir per Hand anfertigen, später können wir dafür auch den Taschenrechner verwenden.

• verschiedene Zahlenwerte für x einsetzen und prüfen,  an welchen Stellen der x-Achse y  von einem positiven zu einem negativen Wert ( oder umgekehrt )  wechselt.
  • um diesen x-Wert wird ein Intervall gewählt, in dem diese Berechnungen mit einer kleineren Schrittweite wiederholt werden usw.,   bis der x-Wert für den Schnittpunkt genau genug berechnet ist.

Dieses Verfahren läßt sich in sehr vielen Anwendungsproblemen erfolgreich anwenden und nach etwas Übung sind auch nicht allzuviele Berechnungen dafür nötig.

In einer zukünftigen Blogpost werden wir dafür auch ein Programm für the HP 9g schreiben.

Intervallschachtelung

Beispiel:           numerische Lösung von  y= 2*x+5

1. Schritt:       x =  -1   –>  y=  3
2. Schritt:       x =  -2 –>   y=  1
3. Schritt:       3= -3   –>  y =  -1

Die Funktion y wechselt  also in dem Intervall   [-3, -2 ]  ihr Vorzeichen,

Wir können jetzt das Verfahren der Intervallschachtelung anwenden, bei dem jedes Intervall in der Mitte geteilt wird und dann berechnet wird,  ob sich das Vorzeichen der Funktion im linken oder im rechten Teilintervall ändert.

In userem Fall   ist bei x= – 2,5  die Mitte des Intervalls.

• linkes Teilintervall [-3, -2,5]
  • x= -3        –>    y = -1
  • x = -2,5    –>   y= 0

Da wir zufällig genau den x-Wert gewählt haben,  bei dem y= 0 wird, können wir die Berechnungen abbrechen.

Natürlich ist diese Gleichung so einfach, dass wir sie im Kopf lösen können. Wenn man ein neues Verfahren ausprobiert, sollte man aber immer mit sehr einfachen Beispielen beginnen, die man leicht berechnen kann.

Auf folgendes müssen wir achten:

• es gibt Gleichungen, die mehrere oder sogar unendlich viele Lösungen haben
• vielleicht sind nicht alle Lösungen einer Gleichung für uns interessant, sondern wir interessieren uns nur für ein Teilintervall. Dann können wir natürlich direkt mit diesem Teilintervall beginnen.
• immer die Lösung in die Ursprungsgleichung einsetzen und prüfen, ob die Gleichung damit gelöst wird.
  • bei mathematischen Umformungen einer Gleichung kann es vorkommen, dass einige Lösungen verloren gehen, weil zum Beispiel die Division durch Null verboten ist, diese Division aber unbemerkt durchgeführt wurde.

Einige andere Beispiele zum Ausprobieren

y =   x^2+ 2x – 3

y =   ( x  –  2)^2  –  x^3

In der nächsten Blogpost sehen wir uns die Grafikfähigkeiten des HP 9g an und wie wir damit  Gleichungen näherungsweise lösen, aber auch  mathematische Funktionen grafisch darstellen können.