Anwendungsbeispiele für den HP 9 g Dreisatz- und Klammeraufgaben. Teil 7

Rückblick

Bis jetzt haben wir  die Möglichkeiten des HP 9 g  besprochen, die für die Mehrheit der Nutzer  für die tägliche Arbeit interessant sein dürften.

Was noch aussteht sind:

  • Besprechung der  eingebauten mathematischen Funktionen und Konstanten
  • Formatle Logik  ( Boolesche Algebra )
  • Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik
  • Programmierung

Bevor diese 4 Punkte besproechen werden, sollen aber erst einmal Anwenungsprobleme mit Hilfe des HP 9 g  gelöst werden,  für deren Lösung nur die bisher besprochenen Möglichkeiten verwendet werden.

Dabei werden auch die jeweils verwendeten mathematischen Funktionen besprochen.

Ich empfehle auch, die Beispiele im Bedienungshandbuch durchzuarbeiten.

Anwendungsbeispiele

Beispiel 1:  Dreisatzaufgaben

In der Schulmathematik sind Dreisatzaufgaben beliebt, die als Textaufgaben bezeichnet werden und im allgemeinen bei den Schülern zu Recht sehr unbeliebt sind, da sie sehr lebensfremd sind.

Zum Beispiel:

  • 1 Maurer  benötigt zum Mauern einer Wand 10 Tage.
  • Frage: Wie viel Tage benötigen 10 Maurer ?

Die gewünschte Antwort ist natürlich  1 Tag. Aber das ist lebensfremd, da 10 Maurer viel Zeit vergeuden werden  mit Plauschen und Biertrinken.

Mit viel Glück schaffen sie es vielleicht in 3 Tagen.

Wie aber wird diese Aufgabe mathematisch formuliert ?

  • 1 Maurer  benötigt  10 Tage
  • 10 Maurer benötigen   x Tage

————————————————–

  1. Versuch

1 / 10 =  10/ x

Nach x auflösen:    x = 100  Tage

So faul sollten die 10 Maurer nun auch nicht  sein.

2. Versuch

1/ 10 = x / 10

Nach x auflösen:    x = 1 ;   also die von der Schulmathematik gewünschte Lösung

Es ist keine Schande, mit einem falschen Lösungsansatz zu beginnen.  Aber genau überlegen, ob die Lösung sinnvoll ist und versuchen, sie zu überprüfen.

In diesem Fall das anwenden, was die Engländer common sense nennen.

Im Deutschen  könnte das näherungsweise als praktische Vernunft übersetzt werden, was bereits etwas hochtrabend ist.

Vielleicht trifft es Mutterwitz besser.

Beispiel 2:   Klammeraufgaben

In der Schulmathematik wird das Auflösen von Klammerausdrücken  geübt. Viele Schüler haben damit Probleme, obwohl sie nur ein paar simple Regeln stur anwenden müssen.

Aber sie philosophieren anscheinend darüber, warum diese Regeln angewendet werden müssen und bestehen auf ihrer persönlichen Freiheit, eigene Regeln anzuwenden und diese während der Berechnung auch noch abzuwandeln.

Das ist natürlich eine sehr lobenswerte kreative Anstrengung. Leider wird die aber in der Schulmathematik nicht gewürdigt.

Wie kann man also vorgehen, um sicher zu sein, dass man einen komplizierten Klammerausdruck richtig auflöst ?

  • bei jedem Berechnungsschritt muss der neue Ausdruck gleich dem ursprünglichen sein, wenn wir für die Buchstaben verschiedene Zahlen einsetzen.
    • dabei nicht 0  und 1 verwenden
    • für verschiedene Buchstaben auch verschiedene Zahlen einsetzen

Sehen wir uns folgenden Ausdruck an:

(( a+bx)(c-2y))/((3+4 y)-(b-a x) )= ?

Sieht hoffentlich bereits abschreckend genug aus ?

Als erstes schreiben wir diesen Ausdruck etwas übersichtlicher hin:

[   (a+b*x) * ( x-2*y)  ]

_______________________   =

[  (3+4*y) – ( b – a*x)

 

Im zweiten Schritt wählen wir Zahlen für die Buchstaben:

a = 2

b= 3

x= 4

y = 5

Und rechnen damit diesen Ausdruck schrittweise aus:

[ ( 2 + 3 * 4) *( 4 – 2*5)]

____________________  =

[ ( 3 + 4* 5 ) – ( 3 – 2 *4 )]

 

[ 14 * ( – 6 )]

——————— =

[ (23) – ( -5) ]

 

– 84

———————— =  – 84 / 28 =  –  3

28

Bitte beachten, dass  – ( -5) =  5  gilt.

Aus irgendeinem unverständlichen Grund lieben es viele Schüler, viele Rechenschritte im Kopf durchzuführen. Vielleicht möchten sie Papier sparen, was ja sehr lobenswert ist.

Aber in den meisten Fällen machen die Schüler dabei Fehler.

  • Bei mathematischen Berechnungen kommt es darauf an, alle Berechnungen klar zu strukturieren, sauber und leserlich zu schreiben und  jeden Rechenschritt hinzuschreiben.
  • Das Problem ist, dass  wir in unserem Kurzzeitgedächtnis nur wenige Fakten speichern können ( maximal 7  )  und  gleichzeitig uns an die anzuwendenden Rechenregeln erinnern müssen.

Beides funktioniert nur gleichzeitig, nachdem wir sehr viel Routine erworben haben, nicht aber, wenn wir noch etwas lernen möchten.

Frage:      

  • Wie sieht der mathematische Ausdruck aus, wenn alle Klammern aufgelöst wurden ?
  • Wie überprüfen wir, ob das Ergebnis richtig ist ?

 

Anmerkung:

Auf den ersten Blick scheint  das ein unnötig hoher Aufwand zu sein. Aber wenn man damit mit Sicherheit das richtige Ergebnis erhält, ist der Aufwand insgesamt viel geringer, als wenn man wiederholt neu beginnt, weil ein Fehler auftrat.

In der praktischen Anwendung können wir uns keine Fehler erlauben. Alles muß mit absoluter Sicherheit richtig sein.

Konstruktionsfehler an Gebäuden oder Maschinen etwa,  können Katastrophen verursachen,.

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