Warum man  lernen solte,   den Taschenrechner  zu  programmieren

Bei  dem Beispiel mit der Altersvorsorge sieht man,  dass   viele  Berechnungen wiederholt durchgeführt werden müssen, falls es nicht gelingt, eine Formel  dafür aufzustellen.

• Es gibt viele Anwendungen, in denen numerische Berechnungen durchgeführt werden müssen, in denen sich dieselbe Abfolge von Berechnungen  vielfach  wiederholt.

• Selbst wenn es gelingt, eine mathematische Formel herzuleiten,  gibt es häufig keine algebraische ( symbolische )  Lösung für diese Gleichung und man muss numerische Berechnngsmethoden anwenden, für die man ebenfalls ein Programm schreiben muss.

Diese Berechnungen lassen sich für den HP 9 g programmieren  und  es lohnt sich also in jedem Fall, das Programmieren des HP 9 g  zu lernen.

Größe und  Aufteilung des Programmspeichers

• Der Programm-Speicher   kann maximal 400 Programmschritte haben
• Der Programmspeicher kann in 10 Programmbereiche aufgeteilt werden, die mit P0, P1, P2 …. bis P9   bezeichnet werden.

Haupt- und Unterprogramme   ( Main-  und Subroutine )

• Ein Programm wird als Hauptprogrammm ( Main ) deklariert.
• Im Hauptprogramm kann zu einem der anderen  9 Progammbereiche gesprungen werden, die dann als Subroutine bezeichnet werden.

Programmstruktur

Hauptprogramm programmieren

1. Taste MODE drücken,  in dem angezeigten Menü den Cursor durch mehrmaliges Drücken von MODE auf  NEW  stellen und ENTER drücken.
2. In dem sich öffnenden Untermenü  MAIN wählen und ENTER drücken
3. In der Anzeige aus den 10 Programmbereichen einen mit dem Cursor wählen und ENTER drücken

Anmerkung:

Da dieser Blog sich mit vielen Themen zur Informationsbearbeitung beschäftigt,   lagere ich Spezialthemen  auf Blogs aus, die sich  nur auf  ein Spezialthema konzentrieren.

Weitere  Beiträge zu dem HP 9 g und anderen Taschenrechnern,  insbesondere von Hewlett Packard und Texas Instruments, werde ich in Zukunft auf  einem Blog veröffentlichen, der sich mit  experimenteller Mathematik beschäftigt.

Experimentelle Mathematik

Altersvorsorge

Der Staat hat sich seit einigen Jahren aus seiner Verantwortung geschlichen, dafür zu sorgen, dass die Menschen  nach einem langen Arbeitsleben eine Rente erhalten, von der sie leben können.

Die Politiker predigen immer, dass jeder Bürger selber zusätzlich zu seiner Rente  für seine Altervorsorge sorgen muss.

Sie verraten aber nicht, wie das gehen kann.

Deshalb hier ein erstes Beispiel:

Aufgabenstellung:

Ein  Arbeitnehmer, der 25 Jahre alt ist, möchte für seinen Ruhestand soviel  Geld ansparen, dass er davon  mit Beginn seines Ruhestandes jeden Monat einen bestimmten Betrag entnehmen kann.

Frage:

Wie viel Geld muss dieser Arbeitnehmer jeden Monat sparen, wenn er noch kein Anfangskapital hat und wenn folgende Bedingungen erfüllt werden müssen:

• Eintrittsalter in den Ruhestand 67 Jahre   ( der Wunschtraum unserer Politiker )

• Der Arbeitnehmer verteilt sein Geld auf mehrere Anlagen, um das Risiko zu verringern.  Jede Anlage  bringt  aber  5%  Zinsen pro Jahr.
  • er hat ungeheuer viel Glück und verliert kein Geld, weil er sehr sichere Anlagen gewählt hat.

• Er möchte, wenn er 67 Jahre alt, jeden Monat 500 euro aus seinem angesparten Vermögen entnehmen können, um seine schmale Rente aufzubessern
  • Er nimmt an, dass er höchstens 85 Jahre alt wird und dann sein angespartes Vermögen aufgezehrt hat  und  – falls er älter werden sollte –  eventuell  Sozialempfänger werden muss.  ( für einen großen Teil der Bevölkerung ein sehr realistisches Szenario. Wir werden älter und wir werden ärmer.  Daraus folgt zwangsläufig, dass sehr viele Menschen die Altersarmut erleben werden, falls der Staat nicht endlich wieder seine soziale Verantwortung entdeckt, die tief unter den hohlen politischen Phrasen verborgen liegt . )

Lösungstips:

• eine Tabelle aufstellen, in der die Einzahlungen und die Zinserträge für die ersten Jahre eingetragen werden. Dabei auch die Zinseszinsen beachten.

• versuchen,  eine Formel herzuleiten
  • Formel testen, indem das Eintrittsalter  in den Ruhestand auf 30 Jahre festgesetzt wird und die monatliche Entnahme  auf  30 Euro.
  • wenn die Formel richtig ist, sie auf die obige Fragestellung anwenden.

• wenn keine Formel gefunden wird, die Tabelle einfach vollständig ausfüllen. Es fallen nur 67 – 25 = 42 Zeilen an, bis zum Renteneintrittsalter
  • danach fallen aber noch 18 Zeilen an, bis das Vermögen mit 85 Jahren aufgebraucht ist. Dabei beachten, dass das Vermögen immer noch Zinsen erbringt.

Zusatzaufgabe:

Der Arbeitnehmer überlegt, dass er eigentlich schon früher aufhören möchte zu arbeiten, damit er  sein Leben noch aktiv  genießen kann.

Er rechnet  sich  aus, dass er mit 750 euro im Monat auskommen könnte, wenn er auf einer Südseeinsel lebt  und dass er nach Verbrauchen seines Vermögens  nach Deutschland zurückkehren und hier  von seiner schmalen Rente oder  als Sozialhilfeempfänger  leben kann.

Frage:

• Wieviel Geld muss er jeden  Monat sparen, wenn er mit 45 Jahren in den Ruhestand gehen möchte und wie hoch müssen die Zinsen pro Jahr sein.
  • wann muss er nach Deutschland zurückkehren ?

• Ist das ein realistisches Ziel ?
  • wie viel müßte der Arbeitnehmer pro Monat verdienen, damit er jeden Monat den benötigten Betrag sparen kann ?

Es gibt einige beliebte geometrische Aufgaben in der Schulmathematik, die ich hier aber etwas trickreicher formuliere, damit  auch trainiert wird, eine Probemstellung zu analysieren.

In der Praxis gibt uns niemand eine Aufgabenstellung so  mundgerecht vor,  daß wir nur noch  ein paar Zahlen  in den Taschenrechner  tippen müssen.

• Den Lösungsweg bis dahin müssen wir selber herausfinden.

Anwendungsbeispiel 1:     Höhe von Gebäuden bestimmen.

Ein  Kirchturm  soll  renoviert werden und es muss berechnet werden, wie aufwendig der Gerüstbau und die Renovierungsarbeiten sein werden.  Niemand  kennt  aber die genaue  Höhe des Kirchturms.

• Annahme 1:   Bei Sonnenschein wirft der Kirchturm einen deutlichen Schatten auf einen ebenen Vorplatz.
  • Der  Winkel von dem Endpunkt des Schattens zur Kirchturmspitze wird mit einem Theodolithen   gemessen
• Die Länge des Schattens ist   51 m und der gemessene Winkel  22°
  • was muß bei der Messung beachtet werden
  • welche zusätzlichen Messungen müssen durchgeführt werden. ( Annahmen dafür machen )

Lösungstips:

• Meßprinzip für die Winkelmessung mit Theodolithen auf  Wikipedia durchlesen
• Skizze anfertigen, wie die Messung durchgeführt wird
• Bestimmen, welche anderen Größen gemessen werden müssen und dafür Annahmen machen
• Trigonometrische Funktionen und ihre Umkehrfuntionen verwenden. Auf die Masseinheit für die Winkel achten.

Vorsicht:  Bei dieser Aufgabenstellung gibt es eine Falle, in die man leicht tappen kann.

Zusatzaufgabe:   Der Vorplatz des Kirchturms ist zwar eben, aber  leider nicht  horizontal , sondern hat vom Kirchturm aus gesehen ein Gefälle von  5°

• wie hoch ist die Kirchturmspitze ?

Anwendungsbeispiel 2:  Über einen See soll eine Hängebrücke gebaut werden

Es muss bestimmt werden wo die Fundamente für die Pfeiler auf jeder Seite des Sees gebaut werden müssen.

• Annahme 1:   An den beiden ausgewählten Punkten werden deutlich sichtbare Messlatten senkrecht in den Boden gesteckt.  Die Spitze jeder Messlatte ist  10 m über dem Boden.
  • Zwischen den Orten der beiden Messlatten gibt es einen Höhenunterschied

• Frage:   Wie kann der Abstand zwischen den beiden Messlatten gemessen werden und wie groß ist der Höhenunterschied zwischen den beiden Messlatten  ?

Lösungstips:

• Anordnung  der Messlatten und des Sees zwischen ihnen  skizzieren und beschreiben, was gemessen werden muss.
• Annahmen für diese Messgrößen machen
• Berechnungen durchführen
• Berechnungen mit einer geometrischen Konstruktion überprüfen

Zusatzaufgabe:

• die Höhe des Messortes über demMeeresspiegel ist nicht bekannt
  • wie kann man sich behelfen ?

Die eingebauten Funktionen des HP 9g anwenden

Für viele Berechnungen benötigen wir einige Funktionen, wie:

• trigonometrische Funktionen für Dreiecksberechnungen

• Potenzfunktionen für Zinseszinsberechnungen

• Exponentialfunktion  in Physik und Technik

• statistische Funktionen

Den Kurvenverlauf dieser  Funktionen können wir  mit dem Grafikbefehl Graph  darstellen.

Ich nehme hier an, dass jemand, der diese Funktionen anwendet, auch bereits ein Grundwissen über diese Funktionen hat, wie es etwa  im Schulmathematikunterricht vermittelt wird.

Die Anwendung der Funktionen ist sehr einfach. Aber man muss den Unterschied zwischen den Funktionen beachten:

• wenn in dem Funktionsnamen auf der Taste ein  x steht, muss zuerst das x eingegeben werden und danach die Taste gedrückt werden
  • Beispiel:   x^2,      10^x  ( dies ist eine Ausnahme: Erst die Taste drücken und dann den Exponenten eingeben. Ich habe noch nicht alle Funktionen getestet )

• wird nur der Funktionsname, ohne x, angegeben, wird  die Taste gedrückt, auf der der Funktionsname steht. Im Anzeigefenster erscheint der Funktionsname mit einer Klammer, in die die Zahl eingetragen werden muß, für die die Funktion berechnet werden soll.
  • Beispiel:     sin(3)   berechnen.    Taste sin()  drücken,    Taste 3 drücken,  ENTER drücken.

Bei einigen Funktionen kann man noch eine Auswahl treffen, welche Eigenschaften das Argument hat:

• Beispiel:  Bei den  trigonometrischen  Funktionen  kann das Argument in Altgrad, Neugrad oder Radiant eingegeben werden.

Anwendungsbeispiele

1.   Aufgabenstellung:  Verschuldung des Bundes auf Null zurückführen

Wie viele Jahre werden benötigt, um die Verschuldung des Bundes  in Deutschland auf Null zurückzuführen ?   ( die Bundesländer sind ebenfalls verschuldet, aber hier betrachten wir nur die Verschuldung des Bundes )

( Die Null vor dem Komma, von der der Finanzminister Dr. Schäuble immer schwärmt, bedeutet nur, dass keine neuen Schulden  vom Bund  gemacht werden. Die Gemeinden und Bundesländer verschulden sich immer mehr )

Hier ist die Null bei der Gesamtverschuldung  des Bundes  gemeint.

1. wir suchen mit Google, wie hoch die aktuelle Staatsverschuldung ist und finden die website   www.staatsschuldenuhr.de     Das Problem ist, dass  die Staatsverschuldung sehr schnell wächst und wir uns entscheiden müssen, mit welcher Zahl wir rechnen wollen.
   1.  während ich  diese Blogpost schreibe steigt die Gesamtverschuldung des Bundes  schneller,  als ich in mehreren Jahren verdiene und wenn ich mich nicht  sehr  beeile,  um mehr, als ich in meinem gesamten Berufsleben verdienen kann.
2. Nehmen wir  2 240 Milliarden Euro = 2,24 Billionen Euro  an.   Das sind in Potenschreibweise  2,24 * 10^12 Euro Schulden des Bundes.
   1. Nehmen wir vereinfachend an, dass der Bund keine Zinsen auf diese Verschuldung bezahlen muss, was zur Zeit sogar recht gut  zutrifft.
   2. Nehmen wir an, dass der Bund jedes Jahr  1 Milliarde Schulden zurückzahlen könnte. Dann würde er 2 240 Jahre dafür benötigen.  Wenn wir für eine Generation 30 Jahre ansetzen, wären das   75 Generationen, also nur  etwas mehr, als die „Generation unserer Kinder „, von der die Politiker immer reden  🙂
   3. Wie viel könnte der Bund denn realistisch betrachtet, jedes Jahr zurückzahlen, wenn er eine disziplinierte Haushaltspolitik betreiben würde ?
      1.   Annahme:    20 Milliarden.  Dann würden 112 Jahre oder ca. 4 Generationen benötigt

Das Problem bei diesen Voraussagen ist außerdem,  die Entwicklung der Inflationsraten und der Kreditzinsen richtig vorauszusehen.

Jeder Bürger ist jetzt bereits mit 26 980,- Euro an den Schulden des Bundes beteiligt.

Und solange der Bund nicht endlich anfängt, Steuern von den großen Internationalen Konzernen zu erheben, wird diese Schuldenlast vor allem von  dem „kleinen Mann“ getragen.

Da wir jetzt bereits an astronomisch große Zahlen gewöhnt sind, können wir uns einmal die Entfernungen im Weltall ansehen.

2. Aufgabenstellung:   Entfernungen im Weltall

In der Astronomie werden Entfernungen im Weltall oft in Lichtjahren gemessen. Gemeint ist damit die Entfernung, die das Licht in einem Jahr zurücklegt.

• Die Lichtgeschwindigkeit beträgt  ca. 300 000 km/s = 3*10^5 km/s

• 1 Stunde hat 60 Minuten und 1 Minute 60 Sekunden. Also hat eine Stunde 60*60 = 3600 Sekunden.

• 1 Jahr mit 365 Tagen  hat    365*24*3600 = 31 536 000  = 3,1536 *10^7  Sekunden

• Also legt das Licht in einem Jahr    3,1536 *10^7 *  3* 10^5  = 9,4608 *10^12  km zurück.
  
  • wenn wir  alle 4 km   einen  euro  verteilen, erhalten wir die Verschuldung des Bundes.   Klingt irgendwie beruhigend;   nur  1 euro alle  4 km   🙂
  • wenn Politiker dies lesen sollten, werden sie den Vorschlag machen,  dass wir noch viel Platz haben, um euros zu verteilen  🙂

Bei diesen Berechnungen werden zweckmäßgerweise die Zahlen in Zehnerpotenzen ausgedrückt.

Die Zehnerpotenz-Eingabe  wird mit  2nd  10^x    ( 3. Zeile, 1. Spalte auf der Tastatur ) aktiviert.

• erst diese Taste drücken und dann den Exponenten eingeben
• Werden Zehnerpotenzen miteinander multipliziert, darauf achten, dass der Cursor im Exponenten zuerst nach rechts, neben die rechte Klammer bewegt wird. Andernfalls wird die neue Zahl im Exponenten eingegeben und dann können die Zahlen so groß werden, dass sie der Rechner nicht mehr verarbeiten kann und einen Fehler anzeigt.

Fragen:

1. Wie viele Kilometer  ist die Erde von der Sonne entfernt, wenn das Licht von der Sonne zur Erde 8,5  Minuten benötigt ?
2. Wenn wir den Erddurchmesser als Vergleichsmaßstab  wählen. Wie oft passt der Erddurchmesser in diese Entfernung (  Erddurchmesser ca. 12 000 km )
3. Wie genau müssen wir eine Winkelmessung durchführen, um die Entfernung der Erde zur Sonne zu messen. ( Darauf achten, dass Winkelangaben in Altgrad, Minute und Sekunde angegeben werden können )
   1. Annahme 1:   Die beiden Messpunkte auf der Erde sind auf entgegengesetzen Punkten auf der Erdoberfläche,  also 12 000 km voneinander entfernt.
   2. Annahme 2:   Wir nehmen an, dass die Krümmung der Erdoberfläche bereits durch den Messenden berücksichtig wurde und wir die beiden Punkte auf der Erdoberfläche durch eine Gerade miteinander verbinden können, die durch den Erdmittelpunkt geht.
      • Wir wollen wissen, welchen Winkel  die Verbindungsstrecken zwischen den beiden Messpunkten mit der Sonne zur Verbindungsstrecke der beiden Messpunkte haben.
      • Wir nehmen vereinfachend an, dass die Sonne durch einen Punkt dargestellt werden kann  bzw. dass bei der Messung ein Punkt auf der Sonnenoberfläche angepeilt wird.
4. Zusatzaufgabe für die ganz „toughen Typen“:  Wie müssen wir die Berechnungen durchführen, wenn wir selber die Messungen durchführen und dabei die Krümmung der Erdoberfläche berücksichtigen müssen ?

Tips für  den Lösungsweg:

• zuerst eine Skizze anfertigen. Es handelt sich hier um eine Dreicksberechnung.
• für die Winkelberechnung müssen trigonometrische Funktionen und ihre Umkehrfunktionen angewendet werden.
  • auf die Masseinheit für die Winkel achten.
• Für die Zusatzaufgabe eine Skizze anfertigen, in der die Erde als Kreis dargestellt wird.

Rückblick

Bis jetzt haben wir  die Möglichkeiten des HP 9 g  besprochen, die für die Mehrheit der Nutzer  für die tägliche Arbeit interessant sein dürften.

Was noch aussteht sind:

• Besprechung der  eingebauten mathematischen Funktionen und Konstanten
• Formatle Logik  ( Boolesche Algebra )
• Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik
• Programmierung

Bevor diese 4 Punkte besproechen werden, sollen aber erst einmal Anwenungsprobleme mit Hilfe des HP 9 g  gelöst werden,  für deren Lösung nur die bisher besprochenen Möglichkeiten verwendet werden.

Dabei werden auch die jeweils verwendeten mathematischen Funktionen besprochen.

Ich empfehle auch, die Beispiele im Bedienungshandbuch durchzuarbeiten.

Anwendungsbeispiele

Beispiel 1:  Dreisatzaufgaben

In der Schulmathematik sind Dreisatzaufgaben beliebt, die als Textaufgaben bezeichnet werden und im allgemeinen bei den Schülern zu Recht sehr unbeliebt sind, da sie sehr lebensfremd sind.

Zum Beispiel:

• 1 Maurer  benötigt zum Mauern einer Wand 10 Tage.

• Frage: Wie viel Tage benötigen 10 Maurer ?

Die gewünschte Antwort ist natürlich  1 Tag. Aber das ist lebensfremd, da 10 Maurer viel Zeit vergeuden werden  mit Plauschen und Biertrinken.

Mit viel Glück schaffen sie es vielleicht in 3 Tagen.

Wie aber wird diese Aufgabe mathematisch formuliert ?

• 1 Maurer  benötigt  10 Tage
• 10 Maurer benötigen   x Tage

————————————————–

1. Versuch

1 / 10 =  10/ x

Nach x auflösen:    x = 100  Tage

So faul sollten die 10 Maurer nun auch nicht  sein.

2. Versuch

1/ 10 = x / 10

Nach x auflösen:    x = 1 ;   also die von der Schulmathematik gewünschte Lösung

Es ist keine Schande, mit einem falschen Lösungsansatz zu beginnen.  Aber genau überlegen, ob die Lösung sinnvoll ist und versuchen, sie zu überprüfen.

In diesem Fall das anwenden, was die Engländer common sense nennen.

Im Deutschen  könnte das näherungsweise als praktische Vernunft übersetzt werden, was bereits etwas hochtrabend ist.

Vielleicht trifft es Mutterwitz besser.

Beispiel 2:   Klammeraufgaben

In der Schulmathematik wird das Auflösen von Klammerausdrücken  geübt. Viele Schüler haben damit Probleme, obwohl sie nur ein paar simple Regeln stur anwenden müssen.

Aber sie philosophieren anscheinend darüber, warum diese Regeln angewendet werden müssen und bestehen auf ihrer persönlichen Freiheit, eigene Regeln anzuwenden und diese während der Berechnung auch noch abzuwandeln.

Das ist natürlich eine sehr lobenswerte kreative Anstrengung. Leider wird die aber in der Schulmathematik nicht gewürdigt.

Wie kann man also vorgehen, um sicher zu sein, dass man einen komplizierten Klammerausdruck richtig auflöst ?

• bei jedem Berechnungsschritt muss der neue Ausdruck gleich dem ursprünglichen sein, wenn wir für die Buchstaben verschiedene Zahlen einsetzen.
  • dabei nicht 0  und 1 verwenden
  • für verschiedene Buchstaben auch verschiedene Zahlen einsetzen

Sehen wir uns folgenden Ausdruck an:

(( a+bx)(c-2y))/((3+4 y)-(b-a x) )= ?

Sieht hoffentlich bereits abschreckend genug aus ?

Als erstes schreiben wir diesen Ausdruck etwas übersichtlicher hin:

[   (a+b*x) * ( x-2*y)  ]

_______________________   =

[  (3+4*y) – ( b – a*x)

Im zweiten Schritt wählen wir Zahlen für die Buchstaben:

a = 2

b= 3

x= 4

y = 5

Und rechnen damit diesen Ausdruck schrittweise aus:

[ ( 2 + 3 * 4) *( 4 – 2*5)]

____________________  =

[ ( 3 + 4* 5 ) – ( 3 – 2 *4 )]

[ 14 * ( – 6 )]

——————— =

[ (23) – ( -5) ]

– 84

———————— =  – 84 / 28 =  –  3

28

Bitte beachten, dass  – ( -5) =  5  gilt.

Aus irgendeinem unverständlichen Grund lieben es viele Schüler, viele Rechenschritte im Kopf durchzuführen. Vielleicht möchten sie Papier sparen, was ja sehr lobenswert ist.

Aber in den meisten Fällen machen die Schüler dabei Fehler.

• Bei mathematischen Berechnungen kommt es darauf an, alle Berechnungen klar zu strukturieren, sauber und leserlich zu schreiben und  jeden Rechenschritt hinzuschreiben.
• Das Problem ist, dass  wir in unserem Kurzzeitgedächtnis nur wenige Fakten speichern können ( maximal 7  )  und  gleichzeitig uns an die anzuwendenden Rechenregeln erinnern müssen.

Beides funktioniert nur gleichzeitig, nachdem wir sehr viel Routine erworben haben, nicht aber, wenn wir noch etwas lernen möchten.

Frage:      

• Wie sieht der mathematische Ausdruck aus, wenn alle Klammern aufgelöst wurden ?
• Wie überprüfen wir, ob das Ergebnis richtig ist ?

Anmerkung:

Auf den ersten Blick scheint  das ein unnötig hoher Aufwand zu sein. Aber wenn man damit mit Sicherheit das richtige Ergebnis erhält, ist der Aufwand insgesamt viel geringer, als wenn man wiederholt neu beginnt, weil ein Fehler auftrat.

In der praktischen Anwendung können wir uns keine Fehler erlauben. Alles muß mit absoluter Sicherheit richtig sein.

Konstruktionsfehler an Gebäuden oder Maschinen etwa,  können Katastrophen verursachen,.

Die grafischen Funktionen des HP 9g

Der HP 9 g   hat einige sehr nützliche grafische Fähigkeiten:

• Funktionen können grafisch dargestellt werden
  • Funktionen können grafisch überlagert werden
  • die grafische Darstellung kann vergrößert oder verkleinert werden  ( zoom-Faktor einstellen )
• auf dem Graph der Funktion kann ein Punkt entlang bewegt und seine  x,y – Koordiaten abgelesen werden.
  • es können auch 1 oder 2 Punkte außerhalb ( oder innerhalb ) des Graphen eingezeichnet und miteinander durch eine Gerade verbunden werden.

Damit kann die Strukur einer Funktion schnell erkundet, aber auch grafische Näherungslösungen für Gleichungen gefunden werden, die  dann mit numerischen Methoden,  wie der Intervallschachtelung,  genauer berechnet werden können.

Da das visuelle System beim Menschen besonders gut entwickelt ist, sollten wir es nach Möglichkeit immer einsetzen und Skizzen anfertigen,  um eine Problemstellung zu verstehen und verschiedene Lösungswege zu finden.

Die Euklische Geometrie wird heutzutage stark vernachlässigt, sie bietet aber immer noch eine hervorragende Hilfe, um Anwendungsprobleme zu lösen.

Als Ergänzung zu der Handhabung des HP 9 g sollte man sich deshalb auch in das Softwareprogramm GeoGebra einarbeiten.

Arbeiten mit der Graphikfunktion des HP 9g

• zuerst wird mit Range ( 2. Zeile,  3. Spalte )  der Intervallbereich auf der x- und der y-Achse festgelegt. Anfangs sollte man die Intervalle relativ groß wählen, um einen ersten Überblick der Funktion zu erhalten.

• danach wird die Taste  Graph gedrückt.
  • es wird Graph  Y =   angezeigt und man muß  rechts neben dem Gleichheitszeichen die Gleichung für die Funktion eingeben.
    • Beispiel:   y= x +1
    • wird  eingegeben als:    Graph Y =  ALPHA  X +  1  ENTER       Das Anzeigefenster des Rechners schaltet danach automatisch auf die Graphikdarstellung des Koordinatensystems um und zeigt den Kurvenverlauf der eingegebenen Funktion .

Überlagerung von Funktionsverläufen:

Solange das Graphikfenster nicht gelösch ist, können andere Funktionen in derselben Weise eingegeben und dargestellt werden.

• Also wieder Graph  drücken und die Funktion eingeben.

Dabei ist zu beachten, dass alle Funktionen von derselben Variablen abhängen müssen und dass sie in denselben Intervallbereichen dargestellt werden. Wird für eine Funktion aus Versehen eine andere Variable gewählt, wird die vorher dargestellte Funktion automatisch gelöscht.

• Dabei kann es vorkommen, dass eine Funktion nicht zu erkennen ist, weil ihre y-Werte in dem gewählten Intervallbereich zu klein sind.

Man kann sie  einzeln darstellen, indem man das Graphikfenster  mit   2nd CLS   ( die Cursortaste rechts drücken )      vorher löscht.    CLS  = clear screen, bedeutet: lösche den Bildschirm.

Das Bedienhanduch wurde zwar ins Deutsche übersetzt, aber nicht die Beschriftungen auf der Tastatur oder die Befehlskommandos des  Rechners.

Verschieben des Graphen auf dem Anzeigefenster

Nachdem der Graph auf dem Graphikfenster dargestellt wird, kann er mit den Cursortasten auf dem Graphikfenster beliebig verschoben werden.

Zoomfunktion

• Originalgröße  des Graphen  darstellen:      2nd Zoom Org      ( steht oberhalb der Graph- Taste )
• Graph vergrößern:        2nd Zoom xf                     ( Cursortaste oben drücken )
• Graph verkleinern:       2nd Zoom 1/xf                  ( Cursortaste unten drücken )

Trace Funktion      ( Trace = Spur )

• Die Trace-Taste steht in der 2. Zeile und der 4. Spalte

Mit der linken und der rechten Cursortaste kann ein Zeiger durch den Graphen bewegt und seine Koordinaten angezeigt werden.

Das ist sehr nützlich, um schnell  ein enges  Intervall für die numerische Berechnung von Lösungen für Gleichungen zu berechnen.

• Schnittpunkte von überlagerten Graphen ermitteln:  2nd Cursortaste links

Plot und Line – Funktionen

Mit     Plot  ( Tasten  2nd  Trace drücken ) wird im Graphikfenster ein Punkt dargestellt, der mit den Cursortasten beliebig bewegt werden kann und dessen Koordinaten angezeigt werden.

Wenn 2 Punkte eingetragen wurden, können sie mit  2nd  LINE   miteinander verbunden werden.

Umschalten zwischen graphischer Darstellung und Textdarstellung

Dafür wird die Taste G-T  ( 2. Zeile, 2. Spalte )  gedrückt.

Training

Die verschiedenen Möglichkeiten der grafischen Darstellung müssen natürlich erst einmal geübt werden.

Dafür eignen sich folgende Beispiele:

• Darstellung  einer Funktion:                                   y= 1/x  + x^2  –  3
• Überlagerung mit einer 2. Funktion:                     y =  2x  + 1

Wie viele Schnittpunkte gibt es und was sind ihre  x und y – Koordianten auf 3 Stellen nach dem Komma genau ?

Symbolische, grafische  und numerische Lösung von mathematischen Gleichungen

Es gibt viele  Gleichungen, die symbolisch lösbar sind, aber sehr viele, die nur numerisch lösbar sind.

Mit dem HP 9g   können Gleichungen nicht symbolisch gelöst werden.

Das geht mit einigen anderen Taschenrechnern. Aber auch die können nur relativ einfache Gleichungen symbolisch lösen.

Deshalb ist es sinnvoll zu lernen, wie Gleichungen numerisch gelöst werden können, da in Anwenungsproblemen viele Gleichungen ohnehin nur numerisch lösbar sind.

Folgende Vorgehensweise führt häufig zum Erfolg:

• die Gleichung, wie zum Beispiel   y =   2 x + 5    grafisch darstellen
  • schneidet  der Graph für   y die x Achse    ( dort gilt  y= 0 ), wird die x- Koordinate für den Schnittpunkt so genau wie nötig numerisch berechnet.
  • die Zeichnung können wir per Hand anfertigen, später können wir dafür auch den Taschenrechner verwenden.

• verschiedene Zahlenwerte für x einsetzen und prüfen,  an welchen Stellen der x-Achse y  von einem positiven zu einem negativen Wert ( oder umgekehrt )  wechselt.
  • um diesen x-Wert wird ein Intervall gewählt, in dem diese Berechnungen mit einer kleineren Schrittweite wiederholt werden usw.,   bis der x-Wert für den Schnittpunkt genau genug berechnet ist.

Dieses Verfahren läßt sich in sehr vielen Anwendungsproblemen erfolgreich anwenden und nach etwas Übung sind auch nicht allzuviele Berechnungen dafür nötig.

In einer zukünftigen Blogpost werden wir dafür auch ein Programm für the HP 9g schreiben.

Intervallschachtelung

Beispiel:           numerische Lösung von  y= 2*x+5

1. Schritt:       x =  -1   –>  y=  3
2. Schritt:       x =  -2 –>   y=  1
3. Schritt:       3= -3   –>  y =  -1

Die Funktion y wechselt  also in dem Intervall   [-3, -2 ]  ihr Vorzeichen,

Wir können jetzt das Verfahren der Intervallschachtelung anwenden, bei dem jedes Intervall in der Mitte geteilt wird und dann berechnet wird,  ob sich das Vorzeichen der Funktion im linken oder im rechten Teilintervall ändert.

In userem Fall   ist bei x= – 2,5  die Mitte des Intervalls.

• linkes Teilintervall [-3, -2,5]
  • x= -3        –>    y = -1
  • x = -2,5    –>   y= 0

Da wir zufällig genau den x-Wert gewählt haben,  bei dem y= 0 wird, können wir die Berechnungen abbrechen.

Natürlich ist diese Gleichung so einfach, dass wir sie im Kopf lösen können. Wenn man ein neues Verfahren ausprobiert, sollte man aber immer mit sehr einfachen Beispielen beginnen, die man leicht berechnen kann.

Auf folgendes müssen wir achten:

• es gibt Gleichungen, die mehrere oder sogar unendlich viele Lösungen haben
• vielleicht sind nicht alle Lösungen einer Gleichung für uns interessant, sondern wir interessieren uns nur für ein Teilintervall. Dann können wir natürlich direkt mit diesem Teilintervall beginnen.
• immer die Lösung in die Ursprungsgleichung einsetzen und prüfen, ob die Gleichung damit gelöst wird.
  • bei mathematischen Umformungen einer Gleichung kann es vorkommen, dass einige Lösungen verloren gehen, weil zum Beispiel die Division durch Null verboten ist, diese Division aber unbemerkt durchgeführt wurde.

Einige andere Beispiele zum Ausprobieren

y =   x^2+ 2x – 3

y =   ( x  –  2)^2  –  x^3

In der nächsten Blogpost sehen wir uns die Grafikfähigkeiten des HP 9g an und wie wir damit  Gleichungen näherungsweise lösen, aber auch  mathematische Funktionen grafisch darstellen können.

Eingabe und Korrektur von mathema-tischen Ausdrücken

Es können zwar sehr lange mathematische Ausdrücke  eingegeben werden, es ist aber sinnvoll,  sie in mehrere kürzere zu zerlegen, weil  dann  Eingabefehler schneller korrigiert werden können.

Außerdem kann man Zwischenergebnisse kontrollieren.

Umfang des Arbeitsspeichers:

• Insgesamt können in den Arbeitsspeicher  bis zu 252 Zeichen eingegeben werden

• Mit der Cursortaste ( ovale Taste unter der Anzeige )  kann man diese Zeichenkette vorwärts oder rückwärts durchlaufen.
  • vor dem Cursor kann man ein neues Zeichen einfügen
  • das Zeichen unter dem Cursor kann man mit DELETE  löschen.

• Damit können nicht nur Fehler korrigiert werden, sondern es können erneut Berechnungne mit geänderten  Zahlen oder geänderten Zeichen durchgeführt werden.

Der Cursor kann  auf 6 Arten bewegt werden:

• Cursortaste links oder rechts drücken:       Cursor  wird  innerhalb einer Anzeigezeile  nach links oder rechts bewegt

• Cursortaste oben oder unten drücken:       Cursor wird eine Zeile nach oben oder nach unten bewegt.

• ALPHA Cursortaste oben drücken:               Cursor wird auf as 1. Zeichen bewegt

• ALPHA Cursortaste unten drücken:             Cursor wird auf das letzte Zeichen bewegt

Klammern in mathematischen Ausdrücken  verwenden

In der Mathematik gibt es einige Regeln, in welcher Reihenfolge Rechenoperationen durchgeführt werden.

Die Reihenfolge in fallender Priorität  ist:

• mathematische Funktionen
• Potenzausdrücke
• Punktrechnung  ( muliplizieren und dividieren )
• Strichrechnung   ( addieren und subtrahieren )

Um Fehler zu vermeiden, sollte man im Zweifelsfall Klammern setzen.

• mathematische Ausdrücke in einer Klammer werden immer zuerst berechnet
• es können bis zu 13 Klamerebenen in einer Formel verwendet werden.

Aber auch hier gilt, den mathematischen Ausdruck nicht zu komplex aufbauen, sondern lieber in  mehrere kürzere  aufteilen.

Anmerkung:

• in einem mathematischen Ausdruck kann die letzte rechte Klammer vor ENTER weggelassen werden. Das sollte man aber nicht machen, da man sich dann eine unrichtige mathematische Arbeitsweise angewöhnt, die bei Verwendung von anderen Rechnern oder beim Programmieren in anderen Programmiersprachen zu Fehlern führt.

Nach diesen Vorbemerkungen  einige Hinweise, wie mathematische Ausdrücke eingegeben werden:

Beispiele für das Eingeben mathematischer Ausdrücke

Im einfachsten Fall besteht ein mathematischer Ausdruck aus 2 Zahlen und einer Rechenoperation, wie zum Beispiel:

• 2 +3
• A+B
•  4*7
•  3^5

In diesen einfachen Fällen werden noch keine Klammern benötigt, da die Reihenfolge der mathematischen Berechnungen durch die Konvention eindeutig ist.Man kann die Berechnung  also durch Drücken der ENTER-Taste  abschließen

Das gilt auch noch für die ersten  3 Ausdrücke:

• 2+3*8
• A+B*C
• 4*7/9
• 3^5^7

Bei den ersten 3 Ausdrücken gilt Punktrechnung vor Strichrechnung und deshalb „weiß“ der Rechner, in welcher Reichenfolge er rechnen muß.

• tritt in einem Ausdruck nur Strichrechnung oder nur Punktrechnung auf, spielt die Reichenfolge der Berechnungen keine Rolle. Deshalb ist Ausdruck 3 eindeutig.

Bei dem 4. Ausdruck ist die Reichenfolge aber nicht mehr eindeutig,  denn es gibt 2 Möglichkeiten:

• 3^(5^7)   oder (3^5)^7    Hier müssen also Klammern gesetzt werden.

• es kann natürlich  Potenzausdrücke geben, bei denen die Reihenfolge keine Rolle spielt, wie zum Beispiel bei    2^2^2  = 2^(2^2) = (2^2)^2
  • Frage:   gilt  das für alle Potenzausdrücke, bei denen nur eine Zahl auftritt ?
  • Also auch für 3^3^3  zum Beispiel ?
    • ( Potenzzeichen ^ ist die Taste in der  6. Zeile und  5.  Spalte auf der Tastatur ).
    • Per Hand rechnen oder per Taschenrechner ?  Das ist die Frage     🙂

Einige weitere  Beispiele:

1. Beispiel:             4 + 5/7 + 3^2 – 4^2^6^7 /9

• Potenzrechnung hat die Priorität 1, aber der 4. Term   ist nicht eindeutig definiert. Die Reihenfolge der Potenzierungen ist nicht klar und es ist auch nicht klar, ob   7/9 berechnet werden soll oder ob erst alle Potenzierungen durchgeführt werden sollen und danach das Ergebnis durch 9 dividiert werden soll.

2. Beispiel:     (  A+C D) ( E – 3 F )

In der Mathematik gilt die Vereinbarung ( Konvention ), dass das Multiplikationszeichen  machmal  weggelassen werden kann, wie hier  zwischen            2  Klammern oder  bei C  D  und bei 3 F . Aber vorsichtshalber sollte man es immer in den Rechner eingeben.

Also eingeben als:   ( A + C*D)*(E-3*F)

Verwenden von Speichervariablen

Wie bereits in Teil 3 dargestellt, können Speichervariablen wie Zahlen in einer Formel verwendet werden.

Aber in diesem Fall müssen in allen verwendeten Speichervariablen Zahlen stehen, bevor die Formel eingegeben wird.

Variablenspeicher

Der HP 9g  hat  26  Speicherplätze,  die mit den Buchstaben A bis Z bezeichnet werden.

In diesen Speicherplätzen können Zahlen gespeichert werden.

Diese Speicherplätze werden als Variablenspeicher bezeichnet, weil  die Buchstaben  A bis Z   als Variablen in Gleichungen verwendet werden können.

Es gibt folgende Befehle:

• Speichern einer Zahl in einem Variablenspeicher  (  SAVE  ist die Taste  in der  2. Tastaturzeile  und 1. Tastaturspalte )
  • Beispiel:             1  SAVE   A,         2  Save B,       3   Save C

• Wert einer Variablen aufrufen   (  Tastenfolges ist:     2nd  SAVE ,  damit  wird der Befehl aktiviert, der  über der Taste SAVE steht, also RCL  ( recall )
  • Beispiel:          2nd  SAVE   A     zeigt  1,     2nd  SAVE  B  zeigt 2,    2nd SAVE  3   zeigt 3

• Löschen   aller    Variablenspeicher:
  • Beispiel:           2nd ClVAR      (  Taste in 4. Zeile und 5. Spalte  )

Vermeiden von einigen Schwierigkeiten

Wahrscheinlich treten  anfangs  einige  Schwierigkeiten auf. Deshalb:

• bevor Zahlen eingegeben werden, erst alle Speichervariablen löschen mit  2nd ClVAR

• Wird der Wert einer Variablen aufgerufen, werden die Speicherregister angezeigt und man muß mit der ovalen Taste erst den richtigen Buchstaben auswählen ( rechts oder links drücken )

• Wird irgendetwas anderes angezeigt, den Rechner ausschalten und dann wieder einschalten.

Anfangs macht man viele Eingabefehler, bis man die Handhabung des Rechners richtig beherrscht.   Das ist normal und man sollte sich dadurch nicht frustrieren lassen.

Es könnte noch folgendes Problem auftreten:

• die Buchstaben A, B, C, D, E, F treten zweimal  auf:
  • einmal in grün
  • einmal in blau

• die  Buchstaben in blau definieren die Speichervariablen und stehen auf den Tasten.

• Die Buchstaben in grün  A,B,C  stehen in Tastaturzeile 2 oberhalb der Tasten und die grünen Buchstaben E,F,G  stehen oberhalb der 3. Tastaturzeile . Sie werden bei anderen Berechnugen verwendet.

• Die Speichervariablen A bis Z  können auch in Formeln verwendet werden; sie werden dann  mit der blauen  ALPHA-Taste aufgerufen, also zum Beispiel  ALPFHA A

Mehr Speichervariable erzeugen

Es ist möglich, noch mehr Speichervariable zu aktivieren, indem Speicherplätze, die für Programmschritte reserviert sind,   für Speichervariable freigegeben werden.

• jeweils 12 Programmschritte können in eine Speichervariable umgeformt werden.

• damit können 33 weitere Speichervariable erzeugt werden, so dass insgesamt 56 zur Verfügung stehen.

Das dürfte aber selten benötigt werden.  ( siehe Details dazu im Handbuch )

Tabellenkalkulationen

Im folgenden  wird gezeigt, wie mit den Speichervariablen und dem Summen-Register Tabellenkalkulationen durchgeführt werden können.

Beim Rechnen mit Taschenrechnern steht nicht im Vordergrund, alles vollautomatisch zu erledigen, sondern verschiedene Lösungswege für ein  Problem, das sich mit mathematischen Methoden lösen läßt,  zu erkunden.

Deshalb  sollte man sich die Tabelle auf ein Blatt Papier schreiben.

• in jeder Zelle der Tabelle trägt man den Buchstaben der Speichervariablen ein, in der der Zahlenwert gespeichert wird

• die Summen der Spalten und Zeilen können mit dem Summen-Register berechnet werden.

• auch Zwischensummen können mit dem Summen-Register berechnet werden,  wie es bei der Doppelten Buchführung zum Beispiel auftreten kann.

 Zellen in einer Tabelle mit Formeln verknüpfen

Wenn für Zellen in einer Tabelle  Speichervariable definiert wurden, können sie miteinander durch Formeln verknüpft werden.

Beispiel:

In den Speichervariablen A und B müssen zuerst Zahlen gespeichert werden, damit später kein Fehler angezeigt wird.

•  Speichern der Zahl  1  in A  :            1    SAVE A
• Speichern der Zahl   2  in B               2    SAVE B

Die Speichervariablen A und  B sollen addiert und  das Ergebnis angzeigt werden;  die Formel wird im Programmsspeicher 1 gespeichert.

• (ALPHA  A +  ALPHA B)   ENTER  PROG 1  ENTER

Erst die Klammertaste drücken ( 4 . Zeile, 4. Spalte ) und dann die Formel eingeben.

Wenn die Taste PROG  gedrückt wird, werden 10  Programmspeicherplätze angezeigt, die von 0 bis 9 durchnumeriert sind. Die mit der ovalen Taste (  links oder rechts drücken )   ausgewählte Zahl wird durch ENTER aktiviert.

• mit PROG 1  ENTER  wird zuerst das Anzeigeregister Ans aufgerufen und mit einem weiteren  ENTER sein Inhalt.  Also eingeben:     PROG 1   ENTER ENTER

 Anmerkung:

Anstatt die Zeilen oder Spalten mit dem Summen-Register aufzuaddieren, könnte man auch die entsprechenden Zellen mit Formeln verknüpfen.

Das sollte man aber vermeiden, weil diese Speicherplätze für Formeln benötigt werden.

 Anwendungen von Tabellen

Viele Berechnungen können übersichlich in Tabellen dargestellt werden, wie zum Beispiel:

• Ein- und Ausgaben  pro Monat
• Vergleich konkurrierender Produkte bei einer Kaufentscheidung
• statistische Auswertungen
• Berechnen von Wahrscheinlichkeiten für verschiedene Ereignisse
• Aktienportfolio

Aufstellen einer Tabelle

Dabei sollte man wie folgt vorgehen:

• Aufbau der Tabelle skizzieren
• einen Datatensatz zum Testen verwenden
• überlegen, welche Informationen mit  der Tabelle berechnet werden müssen
  • werden diese Informationen einmal  benötigt oder öfters, aber mit verschiedenen Datensätzen ?
    • wenn sie öfters benötigt werden, Formeln programmieren und eventuell auch Programme.
    • werden die Informationen nur einmal benötigt, reichen manuelle Berechnungen aus.

Als erstes wird gezeigt, wie mit dem HP 9g   die Grundrechenarten  durchgeführt werden und wie  das Summen-Register und die  Variablen-Speicherregister verwendet werden können.

Der HP 9 g   hat  4   verschiedene Arbeits-weisen:

• Taste On drücken und danach Mode

Es werden die 4 Arbeitsweisen angezeigt:

0  Main

1  STAT

2  Basen

3 PROG

Für alle direkten Berechnungen und grafischen Anzeigen wird immer Main gewählt.

• STAT   wird aktiviert, wenn statistische Berechnungen durchgeführt werden sollen.
• Basen   wird aktiviert, wenn in verschiedenen Zahlensystemen gerechnet werden  soll.
  • Zehnersystem
  • Binärsystem
  • Oktalsystem
  • Hexadezimalsystem
• PROG:  wird aktiviert, wenn Softwareprogramme geschrieben werden sollen.

Die gewünschte Arbeitsweise wird ausgewählt, indem die Taste Mode so oft gedrückt wird, bis diese Arbeitsweise  unterstrichen angezeigt wird.

Dann wird die ENTER-Taste gedrückt, damit diese Arbeitsweise aktiviert wird.

Wenn der Rechner noch ausgeschaltet ist, also folgende Tastenfolge wählen:

• ON
• MODE
• MODE so oft drücken, bis Main unterstrichen erscheint
• Enter

Anzeigefenster

Anzeigefenster löschen

Manchmal werden bei Zwischenberechnungen Zahlen nebeneinander angezeigt, was verwirrend sein kann.

In diesem Fall kann man das Anzeigenfenster löschen:

• orange farbene Taste in der 4. Zeile und der 5. Spalte

a/ESC

Anzeigekontrast einstellen

Wenn die Anzeige zu schwach erscheint, kann der Kontast erhöht werden:

• Mode drücken und danach die ovale Taste unter der Anzeige ( steht hp  drauf ) oben drücken, wenn der Konstrast erhöht werden soll oder unten, wenn er erniedrigt werden soll.  Dabei werden  die möglichen Betriebszustände  ON, MODE usw. wieder angezeigt. Der gewählte Zustand wird aber nicht geändert, nur der Kontrast der Anzeige.

Anzeigefenster speichen

Jede Eingabe oder jede Berechnung, die  mit ENTER abgeschlossen wird, wird automatisch in einem Anzeigespeicher gespeichert, der  Answer ( = Antwort ) heißt.

Der Inhalt dieses Anzeigespeichers kann wieder auf der Anzeige sichtbar gemacht werden, aber auch in Berechnungen eingefügt werden.

• 2nd Anwer Enter   zeigt den Inhalt des Anzeigespeichers. ( Answer steht in gelb oberhalb der +  Taste )

Beispiele:

•   1+2 ENTER     ( es wird 3 angezeigt )
• orangefarbene Taste  a/ESC  drücken, um das Anzeigefenster zu löschen
• und dann drücken:       2nd  ANS  ENTER  es wird 3 angezeigt

In derselben Weise kann der Inhalt des Anzeigespeichers in Berechnungen eingefügt werden:

• 5 +   2nd ANS Enter        es wird 8 angezeigt

Der Inhalt des Anzeigespeichers bleibt   auch beim Ausschalten des Rechners  gespeichert.

Das ist nützlich, wenn man ein Zwischenergebnis weiterverwenden will, aber kann zu falschen Ergebnissen führen, wenn man diesen Speicher  nicht vorsichtshalber in einem Programm löscht.

Rechner auf  Grundeinstellung zurücksetzen

Wenn der Rechner Unsinn anzeigt, den Rechner zurückstellen

• 2nd  und  RESET  drücken.   In der Anzeige wird    N und Y  angezeigt.  Die ovale Taste rechts drücken, damit Y aktiviert wird  und ENTER  drücken. Damit ist das gesamte Gedächtsnis des Rechners gelöscht

Jetzt können wir mit den direkten Berechnungen loslegen.

Zuerst also die 4 Grundrechenarten:

Eingabe:    2+3     Anzeige 5  rechts unten im Anzeigefenster, also nicht direkt nach   =

• Alle Grundrechenarten einmal durchspielen.

Werden bei gemischten Berechnungen Klammern benötigt, zuerst die Klammertaste        ( 4. Zeile, 4. Spalte der Tastatur ) drücken und dann die Zahlen eingeben.

Summen – Register M+

Mit dem  Summen-Register    M+   ( 7. Zeile, 1. Spalte ) , können Zahlenreihen addiert  werden.

Addition:      1+2+3 erfolgt also folgenderweise:

Eingabe  1    M+

Eingabe  2    M+

Eingabe  3    M+

• Das Ergebnis wird durch Drücken der Taste MRC ( memory recall ) und danach Drücken der Taste M+  angezeigt.   Also MRC  M+ zeigt den Inhalt von M+ an als   6   angezeigt.

Vorsicht:

• Wenn etwas anderes angezeigt wird,  stand bereits eine Zahl im Register M+.
• Deshalb sollte man immer das Register M+ löschen, bevor man  es für Berechnungen verwendet.

Das geschieht durch 2-maliges Drücken  der Taste MRC

Zahlen im Summen-Register  M+ abziehen.

• Zahl eingeben und  2nd  M+  drücken.

Beispiel:

1. Register M+   durch 2 maliges Drücken von MRC  löschen
2.         5  eingeben und M+ drücken
3.         2  eingeben und  2nd M+  drücken
4.         MRC    M+   drücken.   Ergebnis ist    3

Anwendungsbeispiele

Mit den Grundrechenarten und dem  Summenregister M+  lassen sich schon viele nützliche Berechnungen durchführen, wie:

• fortwährend die Ausgaben  beim Einkaufen  aufsummieren. Will man eine Eingabe rückgängig machen, wird die Zahl eingegeben und mit   2nd   M+   von der Summe im Summen-Register abgezogen.

• Ein- und Ausgabenkontrolle